La TI-92 en Première S

Sens de variation et dérivée

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image de Serge Cecconi (IMAG)


Nous allons dans ce module conjecturer un lien entre le sens de variation d’une fonction et les propriétés de sa dérivée.

 

Reprendre les quatre fonctions de la onzième séance 

Problème 1

Appelons x le prix de la place et n l’écart de ce prix par rapport à 3 F :

Appelons f(n) la recette.

Problème 2

Appelons m1 la longueur du premier morceau, m2 la longueur du 2ème morceau et l la longueur totale.

La somme des aires du cercle et du carré est :

Problème 3

Appelons y le côté de la feuille carrée de métal blanc et x le côté du petit carré que l’on découpe.

Le volume de la boîte est alors :

Problème 4

Appelons r le rayon de la boîte cylindrique et h sa hauteur.

La surface de métal utilisée est alors :

Pour chacune de ces fonctions, construire les graphes de la fonction et de sa dérivée dans une même fenêtre.
Observez les quatre fenêtres graphiques obtenues.
Que semble-t-il se passer pour la dérivée lorsque la fonction passe par un extremum ? Vérifier votre conjecture par le calcul.
Conjecturer des liens entre le sens de variation de la fonction et les propriétés de sa dérivée.

Le mode d'emploi TI

Problème 1

Définition de la recette de cinéma
HOME
(touche STO)
(d s’obtient à l’aide de 2nd 8)
Y=

F4 (sélectionner les fonctions)
WINDOW : Choisir les coordonnées adéquates de la fenêtre de tracé afin que la fonction dérivée apparaisse sur tout l’intervalle de tracé.
GRAPH

Problème 2

Définition de la somme des aires
HOME


(choix arbitraire d’une ficelle de 10 cm de long)
Y=

WINDOW GRAPH

Problème 3

Définition du volume de la boîte
HOME

(choix arbitraire d’une boîte de 12 cm de côté)

Y=

WINDOW

Problème 4

Définition de la surface de métal utilisée
HOME


Y=

WINDOW

Reprendre la fonction du problème 3 et tracer les courbes représentant la fonction et sa dérivée sur un intervalle plus grand (bien que l’intervalle n’ait alors aucun sens physique). Dresser alors le tableau de variation de la fonction, ainsi que celui de sa dérivée.

 

Applications

Pour les fonctions suivantes, calculer la dérivée puis étudier le signe de la dérivée. Faire ensuite le tableau de variation de la fonction, en y indiquant le signe de la dérivée :


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