La TI-92 en Première S

Comparaison de moyennes avec Cabri

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image de Serge Cecconi (IMAG)


Nous allons dans ce module conjecturer avec CABRI puis résoudre un problème pris dans le livre de géométrie de Terracher : no 93 page 129 (Hachette, édition de 1991)

Enoncé du problème

Etant donnés deux réels positifs x et y, on désigne par moyennes arithmétique, géométrique et harmonique les nombres respectivement désignés par a, g et h et définis par :

1 Construction des moyennes
On considère trois points A, I, B alignés dans cet ordre avec AI =
x et IB = y et l'on désigne par O le milieu de [AB].
On effectue alors les constructions suivantes :

  • un demi-cercle C de diamètre [AB] ;
  • la perpendiculaire à (AB) issue de I qui coupe C en M ;
  • le point H projeté orthogonal de I sur [OM]

a) Faire une figure illustrant ces données.
b) A l'aide des relations métriques dans le triangle rectangle, calculer MO, MI et MH en fonction de
x et de y.

2 Comparaison des moyennes
Sans calcul, comparer
a, g et h et examiner à l'aide de la figure les cas d'égalités.



Construction des moyennes

Lecture de la construction

Construction Cabri

 
Lancer Cabri

Créer les trois points A, I, B alignés dans cet ordre.
Les nommer au fur et à mesure.
O est milieu de [AB]
APPS 8 Geometry 3 New Variable : Moyennes

F2
Line - F2 Point on Object
F4 3
Midpoint
 
Construire
  • - le cercle C de centre O passant par B
    - un demi-cercle sur C,
    - le segment [AB]
    effacer le cercle et la droite support de A, I, B
  • la perpendiculaire à (AB) issue de I qui coupe C en M ;
  • le point H projeté orthogonal de I sur [OM] : construire d'abord le segment [OM], puis la perpendiculaire à [OM] passant par I ; créer alors le point H

F3 1
Circle
F3 2
Arc - F2 5 Segment

F7 1 HIDE SHOW
F4 1
Perpendicular Line

F2 3
Intersection Point
F2 5
Segment
F4 1
Perpendicular Line
F2 3
Intersection Point
Figure finale :



Les grandeurs représentant les moyennes sont sur la figure :
Vérifier par le calcul que MO =
a.
Puis montrer que MI =
g et MH = h.

Comparaison graphique des moyennes

Retour à la construction : déplacer la figure vers la droite de l'écran (en maintenant la touche 2nd appuyée, on peut déplacer la figure globalement à l'aide de la souris).

A l'aide la macro Compas (F4 8
Compass), reporter les longueurs x, y, a, g, h afin qu'elles aient toutes une origine placée sur une même verticale, à gauche de l'écran.

Déplacer le point I sur le segment [AO]. Que conjecturez-vous ?
Examiner à l'aide de la figure les cas d'égalités.

Comparaison par le calcul


On pourra d'abord effectuer les calculs à la main , puis prendre la TI-92 :

  • Calculer
  • Comparer alors a et g
  • Montrer que
  • Comparer g et h
  • Conclure



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