image de Serge Cecconi (IMAG)
Qu'est
ce qu'un lieu géométrique ?
Un lieu géométrique est un ensemble de points du plan vérifiant une même propriété.
Exemple 1
On donne un point O et un réel R > 0. Le lieu des points M tels que OM = R est le cercle de centre O et de rayon R.Exemple 2
On donne deux points distincts A et B. Le lieu des points M tels que le vecteursoit colinéaire au vecteur
est la droite (AB).
Les deux exemples précédents ne présentent pas de difficulté car on reconnaît directement des résultats étudiés dans le cours de géométrie.
En général, un problème de lieu est beaucoup plus délicat à résoudre ! On peut adopter la démarche suivante :
1. Expérimenter
Autrefois, sur le papier, on construisait à partir des données une dizaine de points du lieu cherché, de façon à "deviner" (en mathématiques, on dit "conjecturer") la nature de ce lieu.
Avec la TI-92, Cabri permet d’automatiser cette phase de découverte en traçant, en une seule fois, un grand nombre de points du lieu en question.2. Démontrer
Une fois qu’on soupçonne que le lieu cherché L est probablement une certaine figure F du plan bien identifiée à partir des données (une droite, un segment, un cercle, un arc de cercle, la courbe représentative d’une certaine fonction ....), il reste à le justifier rigoureusement.
Pour cela, on prouve que tout point M du lieu L appartient à F et que, réciproquement, tout point M de la figure F est bien un point de L.
Dans l’activité d’aujourd’hui, on se propose d’apprendre à conjecturer des lieux géométriques. Les deux premiers exercices, entièrement guidés, permettent de se familiariser avec les possibilités de la TI-92 en ce qui concerne le tracé des lieux.
Ensuite, à vous de jouer ! Pour chaque exercice, formulez et notez soigneusement vos conjectures. La prochaine séance sera consacrée à la démonstration de ces conjectures.
Dans Cabri, on peut fixer le nombre de points utilisés pour tracer un lieu. Pour être en mesure de faire des conjectures précises, il vaut mieux choisir un nombre assez grand, par exemple 50. Faire ce réglage une fois pour toutes : F8 9 Format –> # of Locus Points –> 50.
Les
exercices
Exercice 1
On donne une droite d et un point A extérieur à d. Quel est le lieu du milieu M du segment [AN], où N est un point quelconque de d (dans cette situation, on dit que N "décrit" la droite d) ?
Cet exercice est assez simple dans la mesure où l’on peut construire directement tous les objets définis par l’énoncé :
– créer une droite d (F2 –> 4 : Line)
– créer un point A en dehors de d (F2 –> 1 : Point)
– créer un "point sur objet" N sur la droite d (F2 –> 2 : Point on Object)
– construire le milieu M du segment [AN] (F4 –> 3 : Midpoint)
– demander le lieu de M lorsque N décrit d (F4 -> A : Locus ; montrer M puis N)
Exercice 2
On donne deux points distincts A et B. Quel est le lieu du point M tel que le triangle AMB soit rectangle en M ?
Cet exercice est plus compliqué que le précédent car on ne peut pas construire directement un point M vérifiant la condition de l’énoncé. Il faut d’abord transformer cette condition en une condition équivalente se prêtant à une construction avec Cabri. L’idée est de voir en (AM) une droite variable tournant autour de A, droite que l’on peut appeler d, et de considérer M comme le projeté orthogonal de B sur d :
– créer deux points distincts A et B (F2 –> 1 : Point)
– tracer un cercle c de centre A et de rayon quelconque (F3 –> 1 : Circle)
– créer un "point sur objet" N sur le cercle c (F2 –> 2 : Point on Object)
– tracer la droite (AN), notée d (F2 –> 4 : Line)
– construire le projeté orthogonal M de B sur la droite d (F4 –> 1 : Perpendicular Line, puis F2 –> 3 : Intersection Point)
– demander le lieu de M lorsque N décrit c (F4 -> A : Locus ; montrer M puis N)
Exercice 3
On donne un cercle c et un point A. Quel est le lieu du symétrique M de A par rapport à un point quelconque N de c ?
Exercice 4
On donne deux points A et B et une droite d. Quel est le lieu du centre de gravité G du triangle ABN lorsque le point N décrit la droite d ?
Exercice 5
On donne deux points A et B et un cercle c. A tout point N de c, on associe le point M tel que le quadrilatère ABNM soit un parallélogramme. Quel est le lieu de M lorsque N décrit le cercle c ?
Exercice 6
On donne une droite d et un point F n’appartenant pas à d. Quel est le lieu du centre M d’un cercle passant par F et tangent à d ?
