La TI-92 en Première S

Résolution graphique d’équations du second degré

L’Orthogone de Lill sur CABRI

******


image de Serge Cecconi (IMAG)


L'orthogone de Lill fournit une construction géométrique des solutions d'une équation du second degré.
Ce problème a été proposé par l’IREM de Strasbourg.
Les élèves ont eu cet exercice à traiter en devoir maison avant de faire la fiche TI qui suit.

 

L'Orthogone de Lill : le problème

On se propose de résoudre graphiquement toute équation du second degré, soit :

Dans un repère orthonormé , on place les points I, A, B et C définis par :
et

A tout point P de coordonnées (0, a ) on associe le point N de la droite (BC) par la construction indiquée.

  1. Calculer les coordonnées de M puis de N.
  2. Montrer que, pour que N soit en C, il faut et il suffit que .
  3. En déduire une construction géométrique permettant de résoudre graphiquement une équation du second degré.
  4. Appliquer cette méthode pour résoudre
    ; ;
  5. Retrouver géométriquement la condition d’existence des racines d’une équation du second degré.

 

La construction de l'Orthogone de Lill : synthèse

Le cercle C de diamètre [IC] coupe la droite (AB) en au plus deux points. Si M est l’un de ces points, la droite (IM) coupe l’axe des ordonnées en un point dont l’ordonnée est solution.

existence des solutions :

soit W le centre du cercle C , r son rayon
on a alors : d(W , (AB)) r b2 – 4ac 0

limites de la méthode :

a, b et c doivent être choisis dans des limites raisonnables... (...de l’écran)

intérêt :

- aspect ludique : les élèves peuvent retrouver les racines conjecturées par CABRI à l’aide de   leurs calculatrices
- retrouver graphiquement les théorèmes classiques sur le second degré
- que se passe-t-il si a et c sont de signes contraires ? si b = 0 et ac < 0 ?

 

La construction CABRI

Passer en mode CABRI

construction d’un repère orthonormé
créer Ox
construire Oy
créer I sur Ox

mise en place des données de l’orthogone
créer A sur Ox
construire la droite (AB)
créer B sur (AB)
construire la perpendiculaire à (AB) passant par B
créer C sur cette droite

construction géométrique des solutions
construire le milieu W de [IC]
construire le cercle de diamètre [IC]
modifier a, b et c pour que le cercle coupe (AB) en deux points
construire les points d’intersection entre le cercle et (AB) : M1 et M2

les droites (IM1) et (IM2) coupent l’axe des ordonnées aux points X1 et X2

8 : Geometry 2 : New Variable : orthogon

F2 4: line
F4 1: perpendicular line
F2 2: Point on object

F2 2: Point on object
F4 1: perpendicular line
F2 2: Point on object
F4 1: perpendicular line
F2 2: Point on object

F4 3: midpoint
F3 1: circle
F1 1: pointer

F2 3: Intersection Point

Interprétations graphiques

Qualitatif

Quantitatif

1) manipulations de a
laisser a > 0

2) manipulations de c
c < 0 (C à droite de B)
que remarquez-vous ? prouvez votre conjecture.
c > 0 (C à gauche de B)
agir sur c pour qu’il devienne de plus en plus grand. Que se passe-t-il ?

3) manipulations de b
mettre b à zéro
Que remarque-t-on ?

1) mettre a à 1 (A doit être le symétrique de O par rapport à I)
Retrouver alors

2) créer les segments [IA], [AB], [BC], [OX1] et [OX2]
mesurer ces segments F6 1: Distance & Length
placer ces mesures à droite sur votre écran
essayer de retrouver les résultats trouvés au devoir maison.
essayer d’autres valeurs pour a, b et c
retrouver les racines conjecturées par CABRI dans le menu Home
que pensez-vous de cette méthode ?


***Télécharger la fiche


******

***