La TI-92 en Première S

Nous allons dans ce module conjecturer un lieu géométrique avec CABRI, point de départ d’un problème sur les rotations.

On considère dans le plan euclidien orienté un triangle équilatéral ABC de sens direct : .

On note I le milieu du segment [AB], J celui de [AC], M un point variable du segment [BC].
On mène par M la parallèle à (AC) qui coupe (AB) en P et (IJ) en S puis la parallèle à (AB) qui coupe (AC) en Q et (IJ) en T.
On désigne par O le milieu du segment [PQ].

1^o) Quel est le lieu géométrique du point O lorsque M décrit le segment [BC] ?
indication : homothétie...

2^o) Démontrer que O est le milieu des segments [IT] et [SJ].

3^o) On suppose dans la suite que M est distinct du milieu de [BC].
Démontrer que les triangles QMC et QTJ sont équilatéraux et de sens direct.

4^o) Soit s la symétrie de centre O et r la rotation de centre Q et d’angle . On pose f = r o s .

Déterminer les images par f des points P, A et I.
On admet que f est une rotation. Déterminer son centre W .
Indication : utiliser les points A, I et leurs images.
Que représente W pour le triangle ABC ?
Déterminer l’angle de la rotation f.

5^o) Démontrer que la médiatrice de [PQ] passe par un point fixe indépendant de la position de M.

Lecture de la construction

Construction Cabri

Lancer Cabri

Créer les points B et C sur une droite horizontale, en bas de l’écran
Les nommer au fur et à mesure.

Construire A, sommet du triangle équilatéral

Construire le triangle ABC.

APPS 8 Geometry
3 New
Variable : triequi
F2 4 Line - F2 2 Point on Object

F3 1 Circle
F2 3 Intersection Point
F2 5 Segment

Créer le point M, objet sur [BC].

Construire alors :
- la droite (IJ)
- la parallèle à [AC] passant par M
- les points P et S

- la parallèle à [AB] passant par M
- les points T et Q

- le milieu O de [PQ]

F2 2 Point on Object

F2 4 Line
F4 2 Parallel Line
F2 3 Intersection Point
F4 2 Parallel Line
F2 3 Intersection Point
F4 3 Midpoint

Figure finale :

Manipulations de la figure : Déplacer M sur le segment [BC]. Observez la figure.

Construire le lieu de O lorsque M décrit [BC]. Vous n’avez rien vu ? C’est donc que le lieu demandé est une partie d’un objet déjà apparent. Lequel ? Le cacher (F7 1 Hide / Show) et recommencer.
Justifier la conjecture que vous venez d’émettre.

Dénombrez tous les triangles équilatéraux que vous voyez sur cette figure en justifiant à chaque fois. (Cela peut-être long !)

A l’aide de CABRI, déplacer le point M et observer la médiatrice de [PQ].

CABRI permet de tracer des lieux de droites. Nous allons donc observer l’ensemble des médiatrices de [PQ] lorsque M décrit [BC] :